Dwuwymiarowy stan napięcia


Rozciąganie i ściskanie / piątek, Marzec 9th, 2018

Niechaj na dwie pary przeciwległych ścian prostopadłościennego pręta AB działają równomiernie rozłożone napięcia normalne o wypadkowych Px, Py równoległych odpowiednio do osi X, Y tegoż prostopadłościanu. Pola odpowiadających ścian prostopadłościanu oznaczymy przez Fx i Fy.

Naprężenia w przekrojach prostopadłych do osi X, względnie Y, będą oczywiście normalnymi i określą się równaniami

σ=P/F

Obliczymy teraz naprężenia w przekroju m n, prostopadłym do płaszczyzny rysunku i wyznaczonym za pomocą kąta α. Przy tym będziemy rozpatrywać działanie górnej części pręta na część dolną. Całkowite naprężenia znajdziemy, jak łatwo zauważyć, sumując naprężenia wywołane ciągnieniem w kierunku osi X-ów i naprężenia wywołane ciągnieniem w kierunku osi Y-ów. Wyrażenia dla pierwszych otrzymaliśmy powyżej, trzeba w nich tylko zamiast P i F wstawić Px i Fx.

Z otrzymanych wzorów wynika z łatwością, że największe naprężenia styczne w przekrojach prostopadłych do płaszczyzny X Y są nachylone do osi pod kątem 45 stopni.

Co się tyczy naprężeń normalnych, to, szukając w znany sposób krańcowych wartości prawej strony równania (10), znajdujemy, że a osiąga największą, względnie najmniejszą wartość dla α = 0 i α = 90°. Jedna z nich jest zatem równa σ x a druga σ y. Jeżeli np. σ x> σ y, to σ max = σ x a σ min = σ y, skoro zaś w szczególnym przypadku σ x = σ y, to i wszystkie a są sobie równe, σ = 0.

Łatwo wykazać, podobnie jak w poprzednim paragrafie, że naprężenia styczne w dwu wzajemnie prostopadłych przekrojach są sobie równe co do bezwzględnej wartości.

Rozpatrzyliśmy naprężenia w płaszczyznach prostopadłych do płaszczyzny X Y. Jeżeli w szczególności zwrócimy uwagę na płaszczyzny równoległe do osi X lub Y, to naprężenia w nich będą określone tymi samymi wzorami, co dla prostego rozciągania, albowiem siły rozciągające równoległe do płaszczyzny przekroju nie mogą w nim wywołać żadnych naprężeń.

W wywodach niniejszego wpisu przyjęliśmy, że naprężenia σ x i σ y są ciągnieniami. Gdyby jedno z nich, albo obydwa były ciśnieniami, to wystarczy oczywiście zmienić odpowiednio znaki algebraiczne, ażeby z uzyskanych formuł korzystać w każdym przypadku.