Elipsa naprężeń


Rozciąganie i ściskanie / piątek, Marzec 9th, 2018

Prawo zmiany naprężenia w zależności od kąta α, wyrażone wzorami można z korzyścią przedstawić wykreślnie.

Dla każdego płaskiego elementu m n, prostopadłego do płaszczyzny X Y i przechodzącego przez dany punkt O kreślimy odcinek OA, przedstawiający co do kierunku i wielkości naprężenie w elemencie mn. Przy zmianie położenia elementu zmienia się oczywiście wielkość i kierunek odpowiadającego naprężenia, a punkt A opisuje przy tym pewną krzywą. Ażeby znaleźć jej równanie, ustawimy wyrażenia dla współrzędnych x i y punktu A.

Widać, że:

x= σcosα + τsinα

y= σcosα – τsinα

Po wstawieniu w powyższe równania zamiast σ i τ ich wartości otrzymamy:

x= σx cosα

y= σy cosα

czyli równanie elipsy o półosiach σx i σy. Nazywamy ją elipsą naprężeń. Z tego geometrycznego obrazu widać od razu, że dane naprężenia normalne σx i σy określają krańcowe wartości tj. maximum lub minimum naprężeń w mnogości rozpatrywanych elementów. W przekrojach odpowiadających tym naprężeniom nie ma oczywiście naprężeń stycznych. Nazywają je przekrojami głównymi, a odpowiadające im naprężenia naprężeniami głównymii. W przypadku, gdy jedno z naprężeń, np. σy, staje się zerem, mamy do czynienia z prostym rozciąganiem w kierunku osi X-ów. Elipsa zamienia się wówczas na odcinek prostej. Jeżeli σx = σy, to elipsa staje się kołem, a zatem naprężenia we wszystkich rozpatrywanych elementach są równe i prostopadłe do elementów. Naprężenia styczne zaś znikają w tym przypadku. Mamy wtedy do czynienia z równomiernym dwuwymiarowym rozciąganiem w płaszczyźnie X Y.