Naprężenia przy rozciąganiu prostym


Rozciąganie i ściskanie / piątek, Marzec 9th, 2018

Naprężenie w danym punkcie O odkształconego ciała określamy ogólnie w następujący sposób: Prowadzimy przez punkt O przekrój powierzchnią mn, rozdzielającą dane ciało na dwie części A i B, i rozpatrujemy równowagę jednej z tych części np. A. Oprócz sił zewnętrznych (obciążeń) na nią działających, musimy teraz wziąć pod uwagę siły wewnętrzne, czyli napięcia w przekroju mn, określające działanie odciętej części B na część rozpatrywaną. Rozkład tych sił na powierzchni Mn będzie w ogóle nierównomiernym i ażeby określić ich natężenie w jakimkolwiek punkcie O, obierzemy element F należący do powierzchni mn i zawierający punkt O. Ten element leży oczywiście w płaszczyźnie stycznej do mn w punkcie O. Niech napięcia działające na element F mają wypadkową P. Wtedy przez wielkość naprężenia w danym punkcie O danego elementu F rozumieć będziemy granicę stosunku P/F a jako kierunek naprężenia weźmiemy kierunek wypadkowej P. Przez obrany punkt O można poprowadzić nieskończoną ilość płaskich elementów rozmaicie nachylonych. Każdemu z nich będzie odpowiadać pewne naprężenie. (Ogół tych naprężeń określa „stan napięcia” w rozpatrywanym punkcie). Łatwo zrozumieć, że naprężenia w poszczególnych elementach nie mogą być od siebie zupełnie niezależne. Prawo zmiany naprężenia w zależności od kierunku płaskiego elementu znajdziemy najpierw dla najprostszego stanu napięcia, jaki zachodzi przy rozciąganiu lub ściskaniu pryzmatycznych prętów. Rozkład naprężeń w przekroju prostopadłym do osi pręta rozpatrywaliśmy już powyżej; teraz przejdziemy do przekrojów nachylonych do osi.

Odrzuciwszy w myśli górną część pręta odciętą przekrojem pq, weźmy pod uwagę część dolną. Kierunek płaszczyzny przekroju określimy kątem S, jaki tworzy jej normalna zewnętrzna n z osią pręta (osią X-ów). Pole przekroju pq równa się F:cos. Siły zastępujące działanie odrzuconej części pręta na część rozpatrywaną sprowadzają się do wypadkowej P skierowanej ku górze. W płaszczyźnie pq rozkładają się naprężenia równomiernie, każde bowiem włókno pręta doznaje takich samych odkształceń. Wielkość naprężenia σ w dowolnym punkcie przekroju pq, znajdziemy, dzieląc wypadkową P przez pole przekroju; a zatem

σ=Pcos/F

czyli wielkość naprężenia zależy od nachylenia przekroju pq. Kierunek zaś jest widocznie identyczny z kierunkiem osi X-ów. Naprężenia można rozłożyć na składową normalną i styczną. Naprężenia normalne osiągają największą wartość a w przekrojach normalnych, a naprężenia styczne w przekrojach nachylonych do osi pod kątem  45°.

Pomyślmy sobie dwa nieskończenie bliskie i równoległe przekroje p1q1, i pq1, i działajmy na przekrój p1q1, napięciami zastępującymi działanie części I na część II, to nieskończenie cienka warstwa pqq1p1 będzie pod wpływem tych sił w równowadze. Naprężenia normalne dążą, jak widać z rysunku, do zwiększenia wzajemnej odległości obu przekrojów; naprężenia styczne zaś do wzajemnego przesunięcia tychże. Te ostatnie nazywamy dlatego także naprężeniami przesuwającym, albo ścinającymi.

Naprężenia styczne w dwu przekrojach wzajemnie prostopadłych są co do bezwzględnej wartości równe. Różnica znaków algebraicznych wskazuje na to, że kierunki obu naprężeń nie są jednobieżne, tzn., że idąc w myśli z biegiem strzałki jednego naprężenia po powierzchni rozpatrywanej części aż do krawędzi przecięcia się obu przekrojów i przechodząc następnie na przekrój drugi, napotykamy strzałkę o biegu przeciwnym.

Zaznaczymy na koniec, że stosownie do równań będzie dla 90°:

σ= 0

to znaczy, że w przekrojach podłużnych pręta niema żadnych naprężeń, czyli że sąsiednie podłużne elementy („włókna”) pręta nie przenoszą na siebie nawzajem żadnych sił.

Powyższe wywody dokonane na przypadku siły rozciągającej P zastosujemy także łatwo w przypadku siły ściskającej. Wystarczy tylko odwrócić kierunki naprężeń. W dalszym ciągu umówimy się uważać naprężenia ciągnące, czyli ciągnienia, za dodatnie, a cisnące, czyli ciśnienia, za ujemne.