Rozciąganie i ściskanie prętów o zmiennym przekroju


Rozciąganie i ściskanie / wtorek, Kwiecień 3rd, 2018

Wzory do obliczeń, opisane we wcześniejszych postach, stosuje się często do prętów o przekroju zmiennym, jakkolwiek wyprowadziliśmy je dla przypadku stałego przekroju. Otrzymane przy tym wyniki mogą być zadowalające, o ile niema w pręcie nagłych zmian przekroju. W przeciwnym razie staje się niezbędnym uzupełniające badanie rozkładu naprężeń w miejscach, gdzie nagłe zmiany przekroju zachodzą. Zagadnienie jest wielce złożone i nie dopuszcza elementarnego rozwiązania. Poprzestaniemy przeto na przytoczeniu ostatecznych wyników dla kilku ważniejszych prostych przypadków. Te wyniki pozwolą nam wysnuć szereg ogólnych wniosków, mających ważne znaczenie praktyczne.

Jako pierwszy przykład rozważymy rozciąganie wymyślonego pręta AB, o szerokości liniowo zmiennej, a grubości stałej. W dowolnym przekroju poprzecznym mn będzie rozkład ciągnień wcale nierównomiernym, a stopień tej nierównomierności zależy od wielkości kąta y. Pewnego wyobrażenia o prawie rozkładu naprężeń można nabrać przy obserwacji odkształceń. W tym celu należy sporządzić model pręta z miękkiego kauczuku i opatrzyć go na ścianach bocznych układem linii równoległych do mn. Przy rozciąganiu siłą P zakrzywiają się te linie, a odległość między nimi zwiększa się niejednakowo w różnych punktach. Największe odkształcenie, odpowiadające największym ciągnieniom, powstaną w osi pręta, najmniejsze na brzegach. Dokładne badania wykazały, że różnica między największym, a średnim naprężeniem przy wartości y = 10° nie przekracza 1,3%. W tym przypadku można zatem z dostateczną dokładnością posługiwać się wzorami, wyprowadzonymi dla prętów pryzmatycznych. Przy y = 30° osiąga różnica między największym naprężeniem a jego średnią wartością już 13%. Dalsze zwiększenie kąta y pociąga za sobą oczywiście jeszcze większą nierównomierność w rozkładzie naprężeń.

O wiele większe znaczenie praktyczne posiada drugi przykład, a mianowicie rozciąganie wstęgi, osłabionej okrągłym otworem w środku. W płaszczyźnie przekroju poprzecznego mn, przechodzącego przez środek otworu rozłożą się naprężenia najbardziej nierównomiernie.

Na brzegu otworu, gdzie p = r, znajdujemy σ’ = 3σ, czyli największe naprężenie ma potrójną wartość tego, które obliczamy zwykłą formułą, wyprowadzoną dla prętów pryzmatycznych. Jeżeli otwór okrągły zastąpimy eliptycznym o osi dłuższej, skierowanej prostopadle do rozciągającej siły, to przewyżka naprężenia na brzegach otworu będzie jeszcze większą. Stopień nierównomierności w rozkładzie naprężeń wzrasta wraz ze stosunkiem osi wielkiej do osi małej elipsy. Z tego widać, że wąska szczelina, prostopadła do kierunku rozciągającej siły, wywołuje olbrzymie lokalne naprężenia w materiale; skoro zaś szczelina ma kierunek do siły równoległy, to nie ma prawie wpływu na rozkład naprężeń.

Przyjmijmy teraz, że osłabienie wstęgi uskuteczniono za pomocą półkolistych wycięć na brzegach. Przybliżony rozkład naprężeń w przekroju najbardziej zwężonym mn przedstawia zakreskowany diagram. Jeżeli promień wycięć jest mały w porównaniu do szerokości wstęgi, to naprężenia w punktach AA są dwa razy większe od średniej wartości naprężenia. Nadając wycięciom postać wydłużoną, w kierunku prostopadłym do siły działającej, otrzymamy naprężenia jeszcze większe.

„Ostre“ zmiany przekroju poprzecznego napotykamy w praktyce bardzo często. Do badania wytrzymałości zaprawy cementowej używa się np. próbek w postaci ósemki, które rozciągane w kierunku długości siłą P, pękają oczywiście w przekroju osłabionym mn. Iloraz z siły rozrywającej przez pole osłabionego przekroju uważa się za wartość doraźnej wytrzymałości zaprawy cementowej. Ta wartość będzie jednak niewątpliwie mniejszą od rzeczywistej wytrzymałości, którą byśmy znaleźli rozrywając pręt pryzmatyczny z tego samego materiału, albowiem wskutek ostrej zmiany przekroju poprzecznego, nie będzie rozkład naprężeń w przekroju m n. równomiernym, a pęknięcie rozpocznie się w najsilniej naprężonych miejscach, na brzegach zwężonego przekroju.

To samo zjawisko miejscowego powiększenia naprężeń spotykamy przy rozciąganiu zwykłego sworznia. W przekroju mn, oddalonym od miejsca działania sił zewnętrznych, można przyjąć równomierny rozkład naprężeń, ale dla przekroju aa przy główce sworznia będzie takie założenie bardzo dalekim od rzeczywistości. Największe naprężenia powstaną na konturze przekroju, najmniejsze w jego środku. Stopień nierównomierności   w rozkładzie naprężeń będzie zależał od krzywizny powierzchni łączących główkę z trzonem sworznia. Im większa ta krzywizna, tern większą będzie nadwyżka naprężenia. Gdy niema zupełnie powierzchni przejściowej, to teoretyczne rozwiązanie daje nieskończenie wielkie naprężenia na konturze.

Jako ogólny wniosek możemy wygłosić regułę następującą: Zmiany wielkości przekroju poprzecznego wywołują zawsze nierównomierny rozkład naprężeń; stopień nierównomierności jest tym wyższy, im ostrzejsza zmiana przekroju.