Trójwymiarowy stan napięcia


Rozciąganie i ściskanie / piątek, Marzec 9th, 2018

Jeżeli na ściany materialnego prostopadłościanu AB działają równomiernie rozłożone napięcia Px, Py, Pz w trzech kierunkach równoległych do osi X Y i Z, natenczas mówimy o trójwymiarowym stanie napięcia. Odpowiadającymi naprężeniami w przekrojach prostopadłych do osi będą widocznie:

σx=Px/Fx

σy= Py/Fy

σz= Pz/Fz

Jeżeli weźmiemy pod uwagę przekroje równoległe do jednej z osi np. Z (a do innych dowolnie nachylone), to przynależne im naprężenia będą zależne tylko od sił prostopadłych do tejże osi, a więc od sił Px i Py. Siły Pz, jako równoległe do tych przekrojów, nie wywołają w nich żadnych naprężeń. W takim razie naprężenia normalne i styczne w tych przekrojach określą również inne formuły. Zmianę tych naprężeń przy obrocie przekroju około osi Z przedstawia odpowiednie koło Mohr’a zakreślone na odcinku AB = σx – σy, jako na średnicy. Podobnym rozumowaniem znajdziemy, że naprężenia w przekrojach równoległych do osi X, względnie Y, przedstawiają się kołami o średnicach BC= σz – σy i CA = σx – σx.

Tą drogą można łatwo zbadać naprężenia dla trzech układów płaszczyzn. Co się tyczy przekrojów nachylonych do wszystkich trzech osi, to można dowieść, że odpowiadające im naprężenia przedstawiają się współrzędnymi punktów leżących między trzema półkolami w polu wspólnym.  W takim przypadku największe w ogóle naprężenie normalne, odpowiadające najdłuższej odciętej, jest równe σx. Największe zaś naprężenie styczne mierzy się największą rzędną i odpowiada punktowi D na półkolu I. Z konstrukcji tego półkola wynika, że płaszczyzna największego naprężenia stycznego jest równoległa do osi Z-ów i połowi kąt między osiami X a Y. Nadto

τmax = OD =(σx-σy)/2

czyli największe naprężenie ścinające w trójwymiarowym stanie napięcia jest równe połowie różnicy między największym i najmniejszym naprężeniem normalnym.

W szczególnym przypadku

σx= σy= σz= σ

zlewają się punkty A, B i C w jeden, np. O, a promienie wszystkich trzech kół stają się zerami. Punkt O określa wtedy w zupełności stan napięcia, a ponieważ leży na osi odciętych, więc naprężenia styczne w każdym dowolnym przekroju są równe zeru, a normalne są wszystkie równe odciętej punktu O, tj. σ. W tym przypadku mielibyśmy do czynienia z wszechstronnym równomiernym rozciąganiem. Taki stan napięcia byłby niewątpliwie interesującym, gdyby się dał zrealizować. Natomiast bardzo łatwo wywołać wszechstronne równomierne ściskanie, zanurzywszy ciało jednolite w cieczy znajdującej się pod wysokim ciśnieniem.